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§3.7 曲线的凹凸与拐点 一、引例 研究了函数的单调性、极性,对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图象的主要特征,仅凭此两点还是不够的。 【引例】作函数 曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出: 二、凹凸的定义 设函数 则称曲线 如果恒有 则称曲线 函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性,二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢?一个最简单的例子,给我们以启迪。 抛物线 若 若 三、凹凸性的判别法 【定理】 设函数 (1)、若在 (2)、若在 证明(仅证(2)):
由拉氏中值公式有 两式相减得: 对 其中: 依定理情形(2)的假设条件有
所以, 函数 对此定理,我们给出两点注释。 1、定理的记忆方法 2、函数在任意区间上凹凸性的定义与判定与之相类似。 四、曲线的拐点 业已知道,函数一阶导数 能否猜想:函数二阶导数 【拐点定义】连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。 依拐点的定义, 不难给出确定曲线拐点的方法: 设函数 1、求出 2、这些点将区间 3、若在两个相邻的部分区间上,曲线的凹凸性相反,则此分界点是拐点;若在两个相邻的部分区间上,曲线的凹凸性相同,则此分界点不是拐点。 【例1】求曲线 解:函数的定义区间为
将定义区间分为三个区间 当 当 【例2】讨论曲线
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